Glidande medelvärde background modell

Teknisk anm .: Flytta genomsnittsmodell Av och till mottar vi förfrågningar om en teknisk fråga om ARMA, jag modellerar bortom vårt vanliga NumXL-stöd, vilket deltar mer i ARMAs matematiska formulering. Vi hjälper alltid våra användare med eventuella frågor, så vi bestämde oss för att dela med oss ​​av våra interna tekniska anteckningar. Dessa anteckningar var ursprungligen sammansatta när vi satt in på en tidsserieanalys klass. Under åren har vi behållit dessa noter med nya insikter, empiriska observationer och intuitioner som förvärvats. Vi går ofta tillbaka till dessa anteckningar för att lösa utvecklingsproblem och för att korrekt ta itu med en produktsupportfråga. I det här dokumentet går du väl över en enkel, men grundläggande, ekonometrisk modell: glidande medelvärde. Denna modell fungerar som en hörnsten för all seriös diskussion om ARMAARIMA i-modeller. Bakgrund En rörlig genomsnittsmodell av order q (dvs MA (q)) definieras enligt följande: Den ovillkorliga (dvs. långvariga) variansen definieras enligt följande: För en ändlös ordning q är processen garanterad att vara stabil (dvs. Konvergera till oändligheten). För en oändlig ordning (dvs) är processen stabil endast om den långvariga variansen är ändlig: Med andra ord är summan av de kvadrerade värdena för MA-koefficienterna ändliga. Med en ingående provdata. vi kan beräkna värdena för den glidande medelprocessen för framtida (dvs out-of-sample) - värden enligt följande: Att avleda MA-koefficientvärdena är en iterativ och enkel process som räddar oss från att utföra komplex polynomavdelning. Vid det här laget kanske du undrar varför vi skulle vilja konvertera en ARMA-process med ändlös ordning till en oändlig ordning MA-representation. Till att börja med är prognoser (medel och fel) med en MA-representation mycket enklare än att använda den ursprungliga ARMA-representationen med högre ordning. 2. Integrationsintegration (dvs enhetsroten) uppstår ofta i tidsserier (t ex slumpmässig promenad, ARIMA, etc.). I dessa situationer modellerar vi de olika tidsserierna med en ARMA-klassmodell: Men hur tar vi ARMA-utgångarna tillbaka till den oliknade skalan Exempel 1: Tänk på en första orderintegration av MA (q) - processen: 2.1 Flyttande medelvärde Modeller (MA modeller) Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller rörliga genomsnittsvillkor. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln x t är ett fördröjt värde av x t. Till exempel är en lag 1-autoregressiv term x t-1 (multiplicerad med en koefficient). Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel (multiplicerat med en koefficient). Låt (wt overset N (0, sigma2w)), vilket betyder att w t är identiskt oberoende fördelade, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den första ordningens rörliga genomsnittsmodell, betecknad med MA (1) är (xt mu wt theta1w) Den andra ordens rörliga genomsnittsmodellen, betecknad med MA (2) är (xt mu wt theta1w theta2w) , betecknad med MA (q) är (xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw) Anm. Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta ändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den ändrar de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och (unsquared) termer i formler för ACF och variationer. Du måste kontrollera din programvara för att kontrollera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt beräkna den beräknade modellen. R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. Teoretiska egenskaper hos en tidsserie med en MA (1) modell Observera att det enda nonzero-värdet i teoretisk ACF är för lag 1. Alla andra autokorrelationer är 0. Således är ett prov ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA (1) modell. För intresserade studenter är bevis på dessa egenskaper en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA (1) modell är x t10 w t, 7 w t-1. Var (överskridande N (0,1)). Således är koefficienten 1 0,7. Den teoretiska ACF ges av En plot av denna ACF följer. Den visade ploten är den teoretiska ACF för en MA (1) med 1 0,7. I praktiken ger ett prov vanligen vanligtvis ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 provvärden med hjälp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 där vikt N (0,1). För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer. Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1. Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA (1), vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 . Ett annat prov skulle ha en något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda funktioner. Terapeutiska egenskaper hos en tids serie med en MA (2) modell För MA (2) modellen är teoretiska egenskaper följande: Observera att de enda nonzero-värdena i teoretisk ACF är för lags 1 och 2. Autokorrelationer för högre lags är 0 . En ACF med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA (2) modell. Iid N (0,1). Koefficienterna är 1 0,5 och 2 0,3. Eftersom det här är en MA (2), kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2. Värdena för de två icke-oberoende autokorrelationerna är A-plot av den teoretiska ACF följer. Såsom nästan alltid är fallet kommer provdata inte att fungera så perfekt som teori. Vi simulerade n 150 provvärden för modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Var vet N (0,1). Tidsserierna av data följer. Som med tidsserien för MA (1) provdata kan du inte berätta mycket för det. Provet ACF för den simulerade data följer. Mönstret är typiskt för situationer där en MA (2) modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke-signifikanta värden för andra lags. Observera att provet ACF på grund av provtagningsfel inte exakt matchade det teoretiska mönstret. ACF för General MA (q) Modeller En egenskap hos MA (q) modeller är generellt att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q-lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags gt q. Icke-unikhet av samband mellan värden på 1 och (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) - modellen, för något värde av 1. Den ömsesidiga 1 1 ger samma värde. Använd exempelvis 0,5 för 1. Och använd sedan 1 (0,5) 2 för 1. Du får (rho1) 0,4 i båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk restriktion kallad invertibility. Vi begränsar MA (1) - modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1. I exemplet just givet är 1 0,5 ett tillåtet parametervärde, medan 1 10,5 2 inte kommer att. Inverterbarhet av MA-modeller En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Med konvergeringen menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Omvändbarhet är en begränsning programmerad i tidsserierprogramvara som används för att uppskatta koefficienterna för modeller med MA-termer. Det är inte något vi söker efter i dataanalysen. Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA (1) - modeller ges i bilagan. Avancerad teorinotation. För en MA (q) modell med en specificerad ACF finns det endast en inverterbar modell. Det nödvändiga villkoret för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y-. - q y q 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R-kod för exemplen I exempel 1 ritade vi den teoretiska ACF av modellen x t10 wt. 7w t-1. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. R-kommandona användes för att plotta den teoretiska ACF: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 satser av ACF för MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10. plot (lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) adderar en horisontell axel till plottet Det första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt Namnet acfma1 (vårt val av namn). Plot-kommandot (3: e kommandot) tomter jämförs med ACF-värdena för lags 1 till 10. ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern lägger en titel på plotten. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och tomterna gjordes med följande kommandon. xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simulerar n 150 värden från MA (1) xxc10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10. Simulering standardvärden betyder 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF för simulerad provdata) I exempel 2 ritade vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt5 w t-1, 3 w t-2. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. De R-kommandon som användes var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (2) med theta1 0,5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, huvudsimulerad MA (2) serie) acf (x, xlimc (1,10) mainACF för simulerade MA (2) data) Bilaga: Bevis för egenskaper hos MA (1) För intresserade studenter, här är bevis för teoretiska egenskaper för MA (1) modellen. Varians: (text (xt) text (mu wt theta1 w) 0 text (wt) text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) När h 1, föregående uttryck 1 w 2. För varje h 2, föregående uttryck 0 . Orsaken är att, per definition av vägtons oberoende. E (w k w j) 0 för någon k j. Vidare, eftersom w t har medelvärdet 0, E (wjwj) E (wj2) w2. För en tidsserie, Applicera detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Visa väl omvändbarhet för MA (1) modellen. Vi ersätter sedan förhållandet (2) för w t-1 i ekvation (1) (3) (zt wt theta1 (z-tetww) wt theta1z-tet2w) Vid tid t-2. Ekvation (2) blir vi då ersättningsförhållande (4) för w t-2 i ekvation (3) (zt wt theta1z-teteta21w wt theta1z-teteta21 (z-tetww) wt theta1z-theta12z theta31w) Om vi ​​skulle fortsätta Oändligt), skulle vi få oändlig ordning AR-modellen (zt wt theta1z-theta21z theta31z-tetaka41z punkter) Observera dock att om koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar (oändligt) i storlek när vi flyttar tillbaka i tid. För att förhindra detta behöver vi 1 lt1. Detta är förutsättningen för en inverterbar MA (1) modell. Oändlig ordning MA-modell I vecka 3 ser du att en AR (1) - modell kan konverteras till en oändlig ordning MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prickar phik1 w dots sum phij1w) Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd Som kausalrepresentation av en AR (1). Med andra ord är x t en speciell typ av MA med ett oändligt antal termer som går tillbaka i tiden. Detta kallas en oändlig ordning MA eller MA (). En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Minns i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR (1) är att 1 lt1. Låter beräkna Var (x t) med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver (phi1lt1) annars skiljer serien. Navigation8.4 Flytta genomsnittsmodeller I stället för att använda tidigare värden för prognosvariabeln i en regression använder en rörlig genomsnittsmodell tidigare prognosfel i en regressionsliknande modell. Y c et theta e theta e dots theta e, där et är vitt brus. Vi hänvisar till detta som en MA (q) modell. Naturligtvis observerar vi inte värdena på et, så det är inte riktigt regression i vanligt bemärkande. Observera att varje värde av yt kan betraktas som ett viktat glidande medelvärde av de senaste prognosfelen. Rörliga genomsnittsmodeller ska emellertid inte förväxlas med glidande medelutjämning som vi diskuterade i kapitel 6. En rörlig genomsnittsmodell används för att prognosera framtida värden medan den genomsnittliga utjämningen används för att uppskatta trendcykeln för tidigare värden. Figur 8.6: Två exempel på data från rörliga genomsnittsmodeller med olika parametrar. Vänster: MA (1) med y t 20e t 0.8e t-1. Höger: MA (2) med y t e t-e t-1 0.8e t-2. I båda fallen distribueras e t normalt vitt brus med medel noll och varians en. Figur 8.6 visar vissa data från en MA (1) modell och en MA (2) modell. Ändring av parametrarna theta1, prickar, thetaq resulterar i olika tidsseriemönster. Liksom med autoregressiva modeller ändrar variansen av felet termen enbart seriens skala, inte mönstren. Det är möjligt att skriva en stationär AR (p) modell som en MA (infty) modell. Med hjälp av upprepad substitution kan vi exempelvis visa detta för en AR (1) - modell: begin yt amp phy1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phy12y phi1e et amp phi13y phi12e phi1e et amptext end Tillhandahållet -1 lt phi1 lt 1, värdet av phi1k blir mindre eftersom k blir större. Så småningom uppnår vi yt och phi1 phi12 e phi13 e cdots, en MA (infty) - process. Det omvända resultatet hålls om vi lägger några begränsningar på MA parametrarna. Då kallas MA-modellen inverterbar. Det vill säga att vi kan skriva någon inverterbar MA (q) process som en AR (infty) - process. Omvändbara modeller är inte bara för att vi ska kunna konvertera från MA-modeller till AR-modeller. De har också vissa matematiska egenskaper som gör dem enklare att använda i praktiken. Invertibilitetsbegränsningarna liknar stationaritetsbegränsningarna. För en MA (1) modell: -1lttheta1lt1. För en MA (2) modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-teteta1 1. Mer komplicerade förhållanden håller för qge3. Återigen kommer R att ta hand om dessa begränsningar vid uppskattning av modellerna. Mättande data tar bort slumpmässig variation och visar trender och cykliska komponenter. Inhämtande i insamlingen av data som tagits över tiden är någon form av slumpmässig variation. Det finns metoder för att minska avbrytandet av effekten på grund av slumpmässig variation. En ofta använd teknik inom industrin är utjämning. Denna teknik, när den tillämpas korrekt, avslöjar tydligare den underliggande trenden, säsongs - och cykliska komponenter. Det finns två olika grupper av utjämningsmetoder. Medelvärden Metoder Exponentiella utjämningsmetoder Medeltal är det enklaste sättet att smidiga data Vi ska först undersöka några medelvärdesmetoder, till exempel det enkla genomsnittet av alla tidigare data. En lagerförare vill veta hur mycket en typisk leverantör levererar i 1000 dollar-enheter. Heshe tar ett urval av 12 leverantörer, slumpmässigt, erhåller följande resultat: Den beräknade medelvärdet eller medeltalet av data 10. Chefen bestämmer sig för att använda detta som uppskattning av utgifter för en typisk leverantör. Är detta en bra eller dålig uppskattning Medelkvadratfel är ett sätt att bedöma hur bra en modell är Vi ska beräkna det genomsnittliga kvadratfelet. Felaktigt belopp som använts minus den beräknade mängden. Felet kvadrerat är felet ovan, kvadrerat. SSE är summan av kvadrerade fel. MSE är medelvärdet av de kvadratiska felen. MSE-resultat till exempel Resultaten är: Fel och kvadrater Fel Uppskattningen 10 Frågan uppstår: kan vi använda medelvärdet för att prognostisera inkomst om vi misstänker en trend En titt på grafen nedan visar tydligt att vi inte borde göra det här. Genomsnittet väger alla tidigare observationer lika Sammanfattningsvis anger vi att Det enkla genomsnittet eller medelvärdet av alla tidigare observationer är enbart en användbar uppskattning för prognoser när det inte finns några trender. Om det finns trender, använd olika uppskattningar som tar hänsyn till trenden. Medeltalet väger alla tidigare observationer lika. Medelvärdet av värdena 3, 4, 5 är till exempel 4. Vi vet självklart att ett medel beräknas genom att lägga till alla värden och dela summan med antalet värden. Ett annat sätt att beräkna medelvärdet är att lägga till varje värde dividerat med antalet värden eller 33 43 53 1 1.3333 1.6667 4. Multiplikatorn 13 kallas vikten. Generellt: bar frac summa vänster (frac right) x1 left (frac right) x2,. ,, vänster (frac höger) xn. Den (vänster (frac höger)) är vikterna och de räknas naturligtvis till 1.